Fibré tangent

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche concernant la géométrie.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant. (Comment ?).

Deux manières de représenter le fibré tangent d'un cercle : tous les espaces tangents (en haut) sont regroupés de manière continue et sans se recouvrir (en bas).

En géométrie différentielle le fibré tangent TM associé à une variété différentielle M est la somme disjointe de tous les espaces tangents en tous les points de la variété. Le fibré tangent est lui-même une variété différentielle, et un espace fibré de base M

[modifier] Cas des sous-variétés

Supposons que $M$ soit une sous-variété de classe $C k$ (k ≥ 1) et de dimension d de $\mathbb{R}^n$ . On peut voir alors $T M$ comme l'ensemble des couples $(x,v)\in \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ formés d'un point $x\in M$ et d'un vecteur $v$ tangent à $M$ en $x$ . (passer à $\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n$ permet de voir les espaces tangents aux différents points comme des ensembles disjoints.)

On obtient ainsi une sous-variété de classe $C k - 1$ et de dimension 2d de $\mathbb{R}^n\times \mathbb{R}^n$ En effet, pour tout point de $M$ , il existe un ouvert $U\subset \mathbb{R}^n$ et une submersion $f:U\mapsto \mathbb{R}^{n-d}$ (de classe $C k$ ) tels que $U\cap M= f^{-1}(0)$ . On en déduit que

$T(U\cap M)=\{(x,v)\in U\times \mathbb{R}^n, f(x)=0\ \mathrm{et}\ f^\prime(x)\cdot v =0\}$

Mais l'application $(x,v)\mapsto \big(f(x),f^\prime(x)\cdot v\big)$ est une submersion de classe $C k - 1$ de $U\times \mathbb{R}^n$ dans $\mathbb{R}^{2(n-d)}$

Exemple. Le fibré tangent au cercle $S^1=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2, x^2+y^2=1\}$ apparaît ainsi comme la sous-variété

$\{(x,y,X,Y)\in \R^4, x^2+y^2=1, xX+yY=0\}$ .

Il est difféomorphe au cylindre $S^1\times \R$ (voir ci-contre).

[modifier] Définition formelle

On définit $T (M)$ en se donnant pour chaque ouvert $U$ de $M$ une trivialisation locale

$\varphi_{U}\left\{\begin{matrix} T(M) & \rightarrow & U \times V \\ m & \mapsto & (P_U(m),v_U(m)) \end{matrix}\right.$

où $V$ est un espace vectoriel isomorphe à l'espace tangent à $M$ en n'importe quel $P\in U$ et pour chaque $m\in T(M)$ , $v U (m)$ appartient à l'espace tangent à $M$ en $P U (m)$ .

Par ailleurs $\varphi_{U}$ doit satisfaire à la condition de recollement suivante : Si $P_0=P(m)\in U_1\cap U_2$ où $U_1\,$ et $U_2\,$ sont des ouverts associés à des cartes $x_1^\mu$ et $x_2^\mu$ alors on doit avoir (en notation de coordonnées pour les vecteurs $v_{U_1}$ et $v_{U_2}$ )