Felix Klein

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Felix Christian Klein

Felix Christian Klein (25 avril 1849 à Düsseldorf, Allemagne - 22 juin 1925 à Göttingen) est un mathématicien allemand, connu pour ses travaux en théorie des groupes, en géométrie non euclidienne, et en analyse. Il a aussi énoncé le très influent programme d'Erlangen, qui ramène l'étude des différentes géométries à celle de leurs groupes de symétrie respectifs.

Sommaire

1 Biographie
2 Travaux
- 2.1 Le Programme d'Erlangen
- 2.2 Analyse
3 Voir aussi
- 3.1 Articles connexes
- 3.2 Lien externe

[modifier] Biographie

Les parents de Klein sont prussiens ; son père était fonctionnaire en Rhénanie prussienne. Felix est élève du lycée de Düsseldorf, puis, en 1865, étudie les mathématiques et la physique à l'Université de Bonn dans l'intention de devenir physicien. À ce moment, Julius Plücker est nommé à la chaire de mathématiques et de physique expérimentale à Bonn. Felix devient son assistant en 1866, à un moment où Plücker s'intéresse de près à la géométrie. Sous la direction de Plücker, il reçoit son doctorat en 1868.

Plücker meurt la même année, laissant derrière lui un livre inachevé, Neue Geometrie des Raumes, sur la géométrie des droites projectives (voir coordonnées de Plücker). Klein étant la personne la mieux placée pour compléter la seconde partie, il prend contact avec Alfred Clebsch. En juillet 1870, il se trouve à Paris. La guerre franco-allemande l'oblige à retourner en Allemagne ; il sert un temps dans l'armée prusse avant d'être nommé lecteur à Göttingen en 1871.

En 1872, à l'âge de 23 ans, Klein devient professeur à Erlangen grâce à l'aide providentielle de Clebsch, qui voit en lui l'un des futurs plus grands mathématiciens de son temps. Trop peu d'étudiants se trouvant à Erlangen, il obtient à son soulagement une chaire à la Technische Hochschule de Munich en 1875. Là, il enseigne les mathématiques à Adolf Hurwitz, Carl Runge, Max Planck, Luigi Bianchi et Gregorio Ricci-Curbastro. C'est aussi en 1875 que Klein épouse Anne Hegel, la petite-fille du philosophe Hegel.

Cinq ans plus tard, Klein obtient une chaire de géométrie à l'Université de Leipzig. Ces années à Leipzig sont marqués par une dégradation de sa santé. De 1883 à 1884, il souffre de dépression.

Sa carrière de mathématicien étant derrière lui, il accepte une chaire à l'Université de Göttingen en 1886 ; il y restera jusqu'à sa retraite en 1913. Il enseigne divers cours, la plupart à la frontière de la mathématiques et de la physique, comme des cours de mécanique ou de théorie du potentiel. Il souhaitait rétablir Göttingen comme le premier centre mondial de recherche mathématique. Ce qui ne survint pas. Cependant, le centre de recherche que Klein établit servit de modèle : il introduit les rencontres hebdomadaires, et crée une bibliothèque de mathématiques.

Sous la direction de Klein, Mathematische Annalen devient un des journaux de mathématiques les plus connus du monde. Fondé par Clebsch, ce journal rivalise puis surpasse le Journal de Crelle. Klein prend des décisions démocratiques, avec consentement d'une petite équipe d'éditeurs qu'il a choisis. Le journal se spécialise dans l'analyse complexe et la géométrie algébrique. Il publie aussi sur l'analyse réelle et la théorie naissante des groupes.

Grâce en partie aux efforts de Klein, les femmes sont admises à Göttingen à partir de 1893. Il supervise lui-même la première thèse en mathématiques écrite à Göttingen par une femme, une étudiante anglaise d'Arthur Cayley.

À partir de 1900, Klein s'intéresse à l'apprentissage des mathématiques dans les écoles. En 1905, il recommande d'enseigner les rudiments du calcul intégral et différentiel dès le secondaire. Cette recommandation est progressivement appliquée dans de nombreux pays à travers le monde. Il s'est engagé également dans la didactique des mathématiques.

Klein est élu membre de la Royal Society en 1885. La Société mathématique de Londres lui décerne la Médaille de De Morgan en 1893. Il est lauréat de la médaille Copley en 1912. Il prend sa retraite l'année suivante, à cause d'une mauvaise santé, mais continue à donner des cours particuliers de mathématiques pendant quelques années.

[modifier] Travaux

[modifier] Le Programme d'Erlangen

Sophus Lie présente à Klein le concept de groupes, qu'il a aussi étudié aux côtés de Camille Jordan. Les premières découvertes importantes de Klein datent de 1870. En collaboration avec Lie, il étudie les propriétés fondamentales des lignes asymptotiques sur la surface de Kummer. Ils en viennent à s'intéresser à des courbes invariantes sous un groupe de transformations projectives.

En 1871, alors à Göttingen, Klein fait d'importantes découvertes en géométrie. Il publie deux articles, dont On the So-called Non-Euclidian Geometry, plaçant les géométries euclidiennes et non euclidennes sur un même plan, et mettant un terme à la controverse autour de la géométrie non euclidienne.

La synthèse de Klein de la géométrie comme étude des invariants sous un groupe de transformations donné, connue sous le nom de Programme d'Erlangen (1872) influença profondément l'évolution de la géométrie et des mathématiques dans leur ensemble. Ce programme était le cours inaugural de Klein comme professeur à Erlangen. Ce programme propose une vision unifiée de la géométrie. Klein décrit en détails comment les propriétés centrales d'une géométrie donnée se traduisent par l'action d'un groupe de transformations.

Aujourd'hui, cette vision est devenue tellement banale dans l'esprit des mathématiciens qu'il est difficile de juger de leur importance, d'apprécier sa nouveauté et de comprendre l'opposition à laquelle elle a dû faire face.