Discuter:Exponentielle

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Ce qu'il reste à ajouter :

il y a deux lemmes fondamentaux dans les exponentielles de matrices, à propos de limites quand n tend vers $+\infty$ ; justement pour le cas où les matrices ne commutent pas... Ca sert notamment à prouver que le crochet de Lie passe à l'exponentielle ou quelque chose comme ça; et l'autre sert pour prouver Cartan-VonNeumann dans le cas des sous-groupes fermés d'un $G L n$ ... (de mémoire)

Snark 15:42 mar 16, 2003 (CET)

Sommaire

1 ajout
2 Equation différentielle
3 Série exponentielle
4 Ajout dans approche vulgarisée
5 Simplification et organisation
6 Haha!
7 A propos de la définition de la fonction exponentielle :

[modifier] ajout

e peut etre aussi definie comme le nombre où le maximum de la fonction x^(1/X) est atteint

[modifier] Equation différentielle

Il vaut mieux mettre le paragraphe concernant l'exponentielle complexe avant les équadiff. D'autre part, pour celles-ci, l'utilisation à la fois de a et b dans a^bx fait double emploi, puisque a^b aurait pu être renommé a. Par contre, il vaut mieux considérer λe^ax qui est la solution générale de l'équa diff y' = ay. Theon 23 déc 2004 à 11:23 (CET)

[modifier] Série exponentielle

La notion de série exponentielle n'a pas de sens dans un espace vectoriel normé ; la structure d'algèbre est indispensable. Vivarés 14 novembre 2005 à 15:31 (CET)

[modifier] Ajout dans approche vulgarisée

J'aurais bien vu comme propriété remarquable dans l'approche vulgarisée que l'exponentielle est la fonction qui est sa propre dérivée, mais c'est peut-ête un point de vue de physicien? C'est en tous cas le sens qu'a le terme dans les expressions courantes de "croissance exponentielle"; le reste de l'article est complet mathématiquement, mais les bases diverses de l'exponentielle et les algèbres de Banach c'est pour les matheux; pour les autres on pourrait peut-être expliquer les propriétés de l'exponentielle par comparaison avec les fonctions polynômiales par exemple? Sprinteur 15 mars 2006 à 15:13 (CET)

[modifier] Simplification et organisation

Serait-il possible de faire des explications simples en ce qui concerne les math sur wiki ? Presques tous les sujets de math sont imbitables (incomprehensible ;-)

Est-il nécessaire d'en venir a des considérations de relativité générale pour expliquer ce qu'est une addition ? Dire "morphisme continu" a quelqu'un qui veut juste savoir ce que sont les exponentielles, c'est à le dégouter de revenir.

Par exemple, ne serait-il pas possible d'expliquer simplement dans une premiere partie que la notation exponentielle permet de représenter de facon compacte une suite de nombres égaux multipliés entre eux. 5 * 5 s'écrit 5 ^ 2 ou exp5(2) On pourrait ensuite préciser qu'une fonction exponentielle a telle forme et ses limites en ceci-cela avec un beau graphe (il y est, c'est cool). En seconde partie donner la définition et des exemples en langage mathématique classique (c'est à dire chiant) Et dans une troisième le reste (morphisme continu et compagnie ;-).

Ceci n'est pas propre a ce sujet mais à tous ceux de math, si on ne le connait pas d'avance (et encore) on ne comprend rien.

[modifier] Haha!

Je crois bien que exp(0) = 1 que ce zero soit complexe .. ou pas. Y a il une raison valable pour placer cette propriété sous l'intitulé "Exponentielle en nombres complexes ?"

[modifier] A propos de la définition de la fonction exponentielle :

La définition qui est donnée me paraît tirée par les cheveux. En fait, il faut partir de 2 hypothèses :

1) On cherche une fonction f (autre que la fonction nulle) définie sur R telle que pour tout couple de réels (a; b) on a : f(a + b) = f(a).f(b)

2) Cette fonction f est dérivable sur R.

A partir de là, on construit effectivement cette fonction. Si on ne suppose pas la deuxième hypothèse de dérivabilité, le problème est peut-être insoluble (?)

L'hypothèse 1) implique par exemple que f(0) = 1. En effet f(a + 0) = f(a) d'une part et f(a + 0) = f(a).f(0)d'où f(a) = f(a).f(0). En choisissant a tel que f(a) différent de 0 on a f(0) = 1.

Lanh 16 janvier 2007

Il existe plusieurs définitions équivalentes de l'exponentielle, mais certaines en permettent des généralisations, aussi appelées exponentielles :

Comme tu l'as dit, l'exponentielle est un morphisme continu de groupes f:R->R^*. Cette définition est unique à composition près par un automorphisme continu du groupe additif R. La continuité de f implique sa dérivabilité (effectuer un produit de convolution) ; en dérivant l'identité f(x+y)=f(x).f(y) par rapport à y, on trouve une équation différentielle ...
Justement, c'est la deuxième définition : f est une application dérivable vérifiant l'équation différentielle : f '(x)=f(x).f '(0). On impose f '(0)=1.
La troisième définition est celle dans l'article actuel, sous forme de série. En réalité, cette série vient de la résolution de l'équation différentielle ci-dessus, en utilisant la méthode des séries entières (on suppose que la solution est analytique au voisinage de 0 et y vérifie l'équation ; de fait, elle devra vérifier l'équation sur son domaine de définition pour des raisons d'analyse).

Cette dernière définition a l'avantage de se généraliser dans les algèbres de Banach an analyse fonctionnelle, ou pour définir l'exponentielle d'un nilpotent en algèbre. La seconde définition se généralise en théorie des groupes de Lie, et en géométrie riemannienne ; la première se généralise en théorie des groupes topologiques, dont groupe topologique.

Je réarrangerai dans quelques jours l'article.

Bonne continuation,

Ektoplastor 16 janvier 2007 à 18:36 (CET)

Mon idée ici est de définir l'exponentielle réelle avec le moins de "savoir" possible pour rester compréhensible tout en restant rigoureux et exhaustif dans les démonstrations (Je ne sais pas si c'est toujours possible). Il y a des années, j'avais étudié cette question à la préparation au CAPES et il faut que je trouve le temps d'y réfléchir à nouveau.

Lanh 16 janvier 2007

Je t'ai donné la réponse. Quelques se trouvent dans l'article que je viens de modifier en conséquence. Définir l'exponentielle comme morphisme continu ou mesurable ou borné sur un ensemble non négligeable, c'est bien. Malheureusement, ça ne la définit pas de manière unique. Mais tu avais raison : la présentation laissait à désirer, j'ai fait ce que j'ai pu pour la rattraper ! Ektoplastor 16 janvier 2007 à 21:34 (CET)