Espace séquentiel

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En mathématiques, et plus particulièrement en topologie et théorie des nombres, un espace séquentiel est un espace topologique qui vérifie l'axiome très peu restrictif de dénombrabilité.

Ces espaces constituent la classe la plus générale d'espaces pour lesquels les suites déterminent entièrement la topologie. Ils ont des propriétés intéressantes en théorie des catégories.

[modifier] Définitions

Soit X un espace topologique.

Un sous-ensemble U de X est dit « séquentiellement ouvert » si toute suite (x_n) de X convergente vers un point de U converge dans U^[1]

Un sous-ensemble F de X est dit « séquentiellement fermé » si la convergence d'une suite (x_n) de F vers x implique que x appartient à F.

Tout sous-ensemble ouverts de X est séquentiellement ouvert.

Un espace séquentiel est un espace satisfaisant l'une des conditions équivalentes suivantes :

Tout sous-ensemble séquentiellement ouvert de X est ouvert ;
Tout sous-ensemble séquentiellement fermé de X est fermé.

[modifier] Historique

Bien que des espaces satisfaisant ces conditions aient été étudiés, de manière implicite, bien avant la formulation explicite des espaces séquentiels, on attribue la première définition rigoureuse de ceux-ci à S. P. Franklin en 1965.

Il tentait de répondre à la question « Quelles sont les classes d'espaces topologiques qui peuvent être définis complètement ne connaissant que leurs suites convergentes ? ». Franklin aboutit à la définition ci-dessus.

[modifier] Définitions équivalentes

Soi X un espace, alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

X est séquentiel ;
X est le quotient d'un espace dénombrable ;
X est le quotient d'un espace métrique ;
Pour tout espace topologique Y et toute application f : X → Y, f est continue si et seulement si, pour toute suite de points (x_n) dans X convergent vers x, la suite (f(x_n)) converge vers f(x).^[2]

[modifier] Fermeture séquentielle

Soit un sous-ensemble $A\subset X$ d'un espace $X$ , la fermeture séquentielle $\left[A\right]_{\mbox {seq}}$ est l'ensemble :

$\left[A\right]_{\mbox {seq}}= \{x\in X : \{a_n\}\to x, a_n\in A \}$

c'est-à-dire l'ensemble de tous les points $x\in X$ pour lesquels il existe une suite de $A$ qui converge vers $x$ . L'application :

$\left[ \, \cdot \, \right]_{\mbox {seq}} : A\mapsto \left[A\right]_{\mbox {seq}}$

est appelée opérateur de fermeture séquentielle. Il partage des propriétés avec les fermetures ordinaires, notamment le fait que l'ensemble vide est séquentiellement fermé :

$\left[\varnothing \right]_{\mbox {seq}} = \varnothing$

Les ensembles séquentiellement fermés sont toujours des sous-ensembles d'ensembles fermés :

$A \subset \left[A\right]_{\mbox {seq}} \subset \overline{A}$

pour tout $A\subset X$ — ici $\overline{A}$ désigne la fermeture ordinaire de l'ensemble $A$ .

La fermeture séquentielle commute avec l'union :

$\left[A\cup B\right]_{\mbox {seq}} = \left[A\right]_{\mbox {seq}} \cup \left[B\right]_{\mbox {seq}}$

pour tout $A,B\subset X$ . Cependant, contrairement à la fermeture ordinaire, l'opérateur de fermeture séquentielle n'est généralement pas idempotent, il peut ainsi vérifier :

$\left[ \left[A\right]_{\mbox {seq}} \right]_{\mbox {seq}}\ne \left[A\right]_{\mbox {seq}}$

et cela, même lorsque $A\subset X$ est sous-ensemble d'un espace séquentiel $X$ .

[modifier] Espace de Fréchet-Urysohn

Les espaces topologiques pour lesquels la fermeture séquentielle coïncide avec la fermeture ordinaire sont appelés espaces de Fréchet-Urysohn, en d'après Maurice Fréchet et Pavel Urysohn. Ils vérifient :

$\left[A\right]_{\mbox {seq}} = \overline{A}$

pour tout $A\subset X$ . Un espace est de Fréchet-Urysohn si et seulement si chacun de ses sous-espaces est séquentiel.

[modifier] Notes et références

↑ On peut aussi dire, s'il existe N tel que x_n est dans U pour tout n ≥ N.
↑ On parle de la « caractérisation séquentielle de la limite ».

(en) R. Engelking : General Topology, PWN, Warsaw, (1977).
(en) S. P. Franklin : « Spaces in Which Sequences Suffice », Fund. Math. 57 (1965), 107-115.
(en) S. P. Franklin : « Spaces in Which Sequences Suffice II », Fund. Math. 61 (1967), 51-56.
(en) Anthony Goreham : « Sequential Convergence in Topological Spaces ».
(en)/(ru) A.V. Arkhangelskii, L.S. Pontryagin, General Topology I, Springer-Verlag, New York (1990) ISBN 3-540-18178-4.