Espérance conditionnelle

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

L'espérance conditionnelle est un concept important en probabilités, notamment utilisé dans des domaines tels que les martingales et l'intégration stochastique.


Sommaire

[modifier] Définition générale

On se place dans la cas général d'un espace de probabilité (\Omega,\mathbb{F},\mathbb{P}). Pour définir l'espérance conditionnelle, il faut une sous-tribu \mathbb{G} \subset \mathbb{F} , ainsi qu'une variable aléatoire intégrable X. Alors il existe une variable aléatoire intégrable Z telle que

E(XU) = E(ZU)

pour toute variable aléatoire U bornée et \mathbb{G}-mesurable. On note alors Z=E(X|\mathbb{G}). Cette notation est bien définie car si une variable aléatoire Y satisfait aussi cette propriété, alors Y = Z presque sûrement.

[modifier] Cas particuliers

Cette définition inclut plusieurs définitions données de manières plus immédiates.

  • On peut définir la probabilité conditionnelle d'un évènement E par \mathbb{P}(E|\mathbb{G}) = E(1_E|\mathbb{G})
  • On peut également définir l'espérance conditionnellement à une variable aléatoire, par le biais de la tribu engendrée par cette variable aléatoire: E(X | Y) = E(X | σ(Y))

[modifier] Interprétation

On peut interpréter l'espérance conditionnelle comme une projection, comme meilleure approximation. En effet, l'espérance conditionnelle possède la propriété suivante:

E((X-E(X|G))^2) \le E((X-Y)^2)

pour toute variable aléatoire Y intégrable \mathbb{G}-mesurable. On peut voir ceci par exemple en considérant le produit scalair E(..). Ceci est particulièrement visible avec la notion de martingale.

[modifier] Propriétés

L’espérance conditionnelle possède les propriétés suivantes

  1. L’espérance conditionnelle est linéaire : E(aX+bY|\mathbb{G}) = a E(X|\mathbb{G}) + b E(Y|\mathbb{G})
  2. Son espérance vaut : E(E(X|\mathbb{G})) = E(X)
  3. Itération : E(E(X|\mathbb{G})|H) = E(X|H) si H \subset \mathbb{G}
  4. Monotonie : Si X \le Y, alors E(X|\mathbb{G}) \le E(Y|\mathbb{G})
  5. Convergence monotone : si Xn converge en décroissant vers X, alors E(X_n|\mathbb{G}) converge vers E(X|\mathbb{G})
  6. Indépendance: Si X est indépendant de \mathbb{G}, alors E(X|\mathbb{G})=E(X)
  7. Si Z est \mathbb{G}-mesurable, alors E(XZ|\mathbb{G})=ZE(X|\mathbb{G})
  8. Inégalité de Jensen : si φ est une fonction convexe et φ(X) est intégrable, alors E(\phi(X)|G) \ge \phi(E(X|G))

[modifier] Voir aussi