Discuter:Espace métrique

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Il faut parler de:

• des exemples
• surtout, des exemples pour montrer que l'adhérence d'une boule ouverte n'est pas la boule fermée correspondante!
• des distances non-archimédiennes, et cette merveilleuse propriété: tout point d'une boule est son centre!
• comment on définit la convergence des suites dans ce cas
• critère de Cauchy
• propriété de Bolzano-Weierstrass, et équivalence avec la propriété de Borel-Lebesgue.

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Houla!

pas d'accord! La notation , c'est pour "le plus petit fermé qui contient la boule ouverte"; et c'est une proposition que dans certains cas très limités, alors c'est la même chose que la boule fermée correspondante. En général ce résultat est faux!

Il faut bien distinguer "B(a,r)=boule ouverte ..." qui est une notation, et "B(ligne au dessus)=boule fermée" qui est une proposition, avec donc des hypothèses!

Snark 11 jul 2003 à 09:34 (CEST)

Tiens, justement, cette erreur montre l'intérêt du second point de la liste (en début de cette page)!

Snark

, peu après

Désolé, je n'était pas très réveillé, quand j'ai fait cette modif' boiteuse... Mea culpa. Tout à fait d'accord pour l'explication dans l'article :) trivial

Ca dépend! La notation avec une barre peut très bien désigner la boule fermée dans un espace métrique, c'est un abus de notation qui peut être dangereux mais qui est couramment utilisé, il s'agit simplement de bien le préciser au départ.

Je supprime la partie relative aux géométries non-euclidiennes, cela n'a aucun rapport avec les espaces métriques.

Mû

[modifier] Erreur

Je ne suis pas d’accord avec ce qui est dit dans cet article… L’adhérence de la boule ouverte est inclue dans la boule fermée en règle général et non l’inverse !

L’exemple traité dans le chapitre Adhérence montre bien qu’il y a une erreur. En utilisant la métrique triviale (la distance entre deux points distincts est 1 sinon la distance vaut 0) sur un ensemble X à plus de 2 éléments, on obtient :

La boule ouverte de rayon 1 centrée en un point est ce point. L'adhérence de cette boule ouverte est ce même point. La boule fermée de rayon 1 centrée en un point est par contre l'espace entier.

Donc on a dans ce cas on a bien que l’adhérence de la boule ouverte est inclus dans la boule fermée…

87.91.107.139 14 octobre 2006 à 18:09 (CEST)Gaël

effectivement (avec stricte inclusion), et j'ai corrigé cela (après vérification, c'est traité correctement dans adhérence (mathématiques). Un autre exemple plus simple à mon avis : boules de rayon 1 dans l'ensemble N des entiers. Peps 14 octobre 2006 à 21:02 (CEST)