Droite de Henry

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

La droite de Henry est une méthode pour visualiser les chances qu'a une distribution d'être gaussienne. Elle permet de lire rapidement la moyenne et l'écart type d'une telle distribution.

[modifier] Principe

Si X est une variable gaussienne de moyenne \overline{x} et de variance σ2 et si N est une variable de loi normale centrée réduite, on a les égalités suivantes :

P(X < x) = P\left(\frac{X-\overline{x}}{\sigma} < \frac{x-\overline {x}}{\sigma}\right) = P(N < t) = \Phi(t), avec t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}

(on note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

Pour chaque valeur xi de la variable X, on peut (à l'aide d'une table de la fonction Φ) :

  • calculer P(X < xi)
  • en déduire ti tel que Φ(ti) = P(X < xi)

Si la variable est gaussienne, les points de coordonnées (xi ; ti) sont alignés sur la droite d'équation t = \frac{x-\overline{x}}{\sigma}. On compare donc les valeurs des quantiles de la loi empirique (xi) au quantiles de la loi normale centrée réduite ti.

Cette méthode peut également se généraliser à d'autres distributions en comparant là encore les quantiles théoriques au quantiles empiriques.

[modifier] Exemple numérique

Lors d'un examen noté sur 20, on obtient les résultats suivants :

  • 10% des candidats ont obtenu moins de 4
  • 30% des candidats ont obtenu moins de 8
  • 60% des candidats ont obtenu moins de 12
  • 80% des candidats ont obtenu moins de 16

On cherche à déterminer si la distribution des notes est gaussienne, et, si oui, ce que valent son espérance et son écart type.

On connaît donc 4 valeurs xi, et, pour ces 4 valeurs, on connaît P(X < xi).

En utilisant la table wikisource : Table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on détermine les ti correspondants :

xi P(X<xi) = Φ(ti) ti
4 0,10 -1,28
8 0,30 -0,525
12 0,60 0,255
16 0,80 0,84


Il suffit alors de tracer les points de coordonnées (xi ; ti).

Image:droite de Henry.png

Les points paraissent alignés ; la droite coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse 11 et le coefficient directeur est (0,84 +1,28)/12 environ, ce qui donnerait un écart type de 12/2,12 = 5,7.

Cela laisse penser que la distribution est gaussienne de paramètres m, σ2, où m = 11 et σ = 5,7.

Autres langues