Discuter:Droite (mathématiques)

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Sommaire 1 également placée entre ses points ? 2 À recycler 2.1 Définition 2.1.1 Géométrie synthétique 2.1.2 Géométrie analytique 2.1.2.1 Définition affine 2.1.2.2 Définition vectorielle 2.1.2.3 Dans R^n 2.2 Propriétés 2.3 Explications 2.4 Notes 3 À recycler: Discussion 4 Un début de refonte

[modifier] également placée entre ses points ?

Que signifie exactement "également placée entre ses points" ?

• Il faudrait le demander à Euclide.... Il était intéressant de citer cette définition et de voir son caractère très intuitif. D.Henrion en 1632, commentant les éléments d'Euclide se pose cette même question et analyse cette définition ainsi : aucun des points situés entre A et B n'ont été déviés. Mais qui dit déviation dit idée de mouvement, de plus court chemin ou de trajet de la lumière. On est donc encore dans le pragmatique et la formalisation du réel. HB 2 décembre 2006 à 22:53 (CET)
• pas de trace de cette horreur dans Éléments d'Euclide. Anecdotique. À supprimer ou recycler dans Histoire de la géométrie{{User:STyx/Signature}} 12 juin 2007 à 02:29 (CEST)

voilà un lien vers la déf d'Eclide et quelques autres. On peut ne pas apprécier, mais le fait est que la formalisation ne s'est pas faite en un jour. Peps 12 juin 2007 à 09:23 (CEST)

[modifier] À recycler

La présence du bandeau est motivée par Discussion Projet:Géométrie#Un audit navrant.

Je tente ici une restructuration (valable aussi pour Point (géométrie), plan (mathématiques)) de l'article et quelques reformulations  :

notes:

• il faudrait également revoir Géométrie et créer Fondements de la géométrie (une réécriture de axiomes de Hilbert#La base axiomatique en termes plus simples) qui servira de référence.
• il faudra bien sur distinguer, à chaque fois, géométries euclidienne et non-euclidien.
• il faut également les restrictions (perte de généralité) et les apports (notions supplémentaires)
• certain éléments seraient peut-être à replacer ailleurs : Géométrie ou Fondements de la géométrie
• il faut quelques images

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La droite est une notion de géométrie. Pour les Anciens, la droite était un objet ...

Tu peux détailler ce que tu veux dire par ces deux phrases ? Par ailleurs, je trouve regrettable que tu souhaites supprimer les deux paragraphes sur l'origine de la notion de droite comme « prolongement de segment ».--Ambigraphe 13 juin 2007 à 23:15 (CEST)

[modifier] Définition

[modifier] Géométrie synthétique

La droite se définit d'abord en géométrie synthétique où l'on ne fait appel ni à la dimension, ni à la mesure, ni même aux nombres et aux ensembles.

Définir un objet par un terme savant et une négation me semble curieux.--Ambigraphe 13 juin 2007 à 23:15 (CEST)

Le trois objets de base de la géométrie que sont le point, la droite et le plan sont indissociables^[1]. Ils se définissent donc conjointement :

Une droite est un objet qui obéit aux règles de la géométrie^[2]

[modifier] Géométrie analytique

La géométrie analytique complète la géométrie en lui adjoingnant de nouvelles notions/objets/? . En géométrie analytique, on dispose de ... (description introductive rapide) ...

En géométrie analytique, la droite se redéfinit^[3] donc ainsi :

[modifier] Définition affine

...

[modifier] Définition vectorielle

...

[modifier] Dans R^n

[modifier] Propriétés

...

[modifier] Explications

...

En quoi la ligne droite est-elle le plus court chemin pour aller d'un point à un autre ? : (=Vision naïve) + réponse sérieuse...

Une droite peut-elle être courbe ? : Non mais en géométrie non-euclidien sa représentation graphique peut l'être car cette représentation est, par la force des choses, euclidienne. (+exemple+image)

synthétique versus analytique ? : ... on pourrait renvoyer à Problèmes de géométrie qui fournirait des comparaisons entre résolution synthétique et résolution analytique d'un problème.

En termes imagés, la géométrie synthétique se fait à la règle non graduée et au compas alors que, en géométrie analytique, l'on dispose également d'une règle graduée et d'un rapporteur (donc d'une équerre) qui permet les mesures d'angles de longueur (norme) de distance.

...etc..

[modifier] Notes

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{{User:STyx/Signature}} 12 juin 2007 à 01:57 (CEST)

[modifier] À recycler: Discussion

Je serais pour réduire encore le paragraphe de définitions (avant l'historique) pour qu'en cinq lignes apparaissent les approches de la géométrie synthétique (la notion est définie par une axiomatique qui régit les relations entre point, droite et plan), géométrie analytique (utilisant les notions de vecteurs et d'équations), géométrie non-euclidienne (renvoyant à la notion de géodésique) et algèbre (sous-espace vectoriel de dimension 1).

Après, chacune de ces approches peut être développée dans une partie de l'article avec définition complète (ou renvoi aux axiomes de Hilbert), exemple, applications et références.--Ambigraphe 13 juin 2007 à 23:15 (CEST)

• Je suis d'accord. L'essentiel (pour moi) est d'abord qu'une définition synthétique apparaissent clairement. A mon sens, cela reste la définition première (un moule). Par la suite de nouveaux objets sont venus étoffer les maths et il se trouve (heureusement) que ces objets (modèles) "entre dans le moule", d'où leur nom de géométries. Mais cela vient en second lieu.
• Je tiens aussi à ce que soit bien préciser ce qui relève exclusivement de la géométrie euclidienne. (par exemple, la géométrie analytique est-elle exclusivement euclidienne ?)
•  Pour géodésique ! Ce terme doit apparaitre impérativement en géométrie non-euclidienne
• Note: (voir Discussion Projet:Géométrie#Un audit navrant) la restructuration proposée porte également sur le "point" et le "plan" (au moins). Ce sont amha la 3 facettes d'un même article. {{User:STyx/Signature}} 14 juin 2007 à 21:49 (CEST)

Quand tu parles de « définition synthétique », tu penses à la géométrie synthétique ? Si j'ai bien compris, tu veux plutôt dire qu'il faut que la définition fasse la synthèse des différentes approches, mais je veux être sûr.

Personnellement, je trouve que les définitions de « droite » débordent largement du moule initial mais désignent le même objet lorsque les domaines s'intersectent.

J'éviterais de trop cloisonner les domaines, pour répondre à ta question sur la géométrie analytique non-euclidienne. Ce genre de précision peut être abordé dans les articles décrivant les différentes géométries, mais on peut s'en dispenser sur l'article Droite.

Quant aux articles sur le point ou le plan, ils pourraient effectivement être discutés, mais il y a beaucoup moins à dire sur le premier et beaucoup plus sur le second. Recyclons donc la droite d'abord, lissons le point dans la foulée et on réfléchira au plan après.--Ambigraphe 14 juin 2007 à 22:41 (CEST)

• oui « définition synthétique » = « définition en géométrie synthétique » (un mauvais raccourci) {{User:STyx/Signature}} 20 juin 2007 à 14:25 (CEST)

[modifier] Un début de refonte

Voilà une esquisse de refonte. L'introduction reste à faire, maintenant l'algèbre linéaire enrichit largement la notion de droite, qui peut même devenir un ensemble discret.

Pour moi, si le terme de droite s'applique de fait aux géométries non euclidienne, le terme le plus général me semble géodésique, je le cite mais le coeur de ce sujet fait partie d'un autre article. Mais n'est ce pas qu'un point de vue?

Les applications sont vraiment trop légères, on devrait citer des exemples: en algèbre multilinéaire (la définition du déterminant se fonde généralement sur le fait que les formes n-linéaires alternées forment une droite), en arithmétique, en analyse fonctionnelle, etc.. Cela donnerait une vision plus exacte de la notion de droite.

Il manque les illustrations et les références.

Enfin, plus que définition synthétique, je suis parti sur le concept d'axiomatique consistante. Cela correspond plus à un vocabulaire mathématiques fréquemment utilisé, mais est une notion subtile de logique. Jean-Luc W 21 juin 2007 à 12:26 (CEST)

Juste une petite remarque (une seule) sur la difference entre géodésique et droite :

La notion de géodésique remplace en effet avantageusement la notion de droite en géométrie riemannienne. Ce n'est pas une generalisation. Dans le cas de la géométrie hyperbolique, sphérique, ou elliptique, cependant, je ne pense pas que définir une droite comme une géodésique pour les métriques associées soit la meilleure approche. Meme si a posteriori c'est tout a fait exact. Une géodésique est donnée par une équation ordinaire du second degré. Pas évident alors à démontrer directement que les géodésiques du plan hyperbolique sont bien des demi cercles correctement paramétrisés.

Il faut mieux définir les droites comme un invariant du groupe des symétries. Plus exactement, une droite vectorielle est l'ensemble des points fixes du groupe d'isotropie en un vecteur directeur. De meme, une droite est l'ensemble des points fixes du groupe d'isotropie en un vecteur tangent. Cette approche très importante permet d'unifier les définitions de droite affine et de droite en géométrie non euclidienne ; elle manque cruellement dans cet article.

En utilisant cette définition, on constate facilement que les droites sont bien les géodésiques (car tous les points d'une géodésique de vecteur vitesse v au temps 0 sont évidemment fixés par toute isométrie fixant v : autrement dit, une géodésique est une notion métrique).

Il ne faut pas oublier cependant que les lecteurs de cet article sont de tous niveaux. Les sources me semblent dans un premier temps secondaires. Je te laisse continuer à travailler sur cet article,

Bonne continuation.

Ekto - Plastor 21 juin 2007 à 15:42 (CEST)