Distance de Mahalanobis

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En statistique, la distance de Mahalanobis est une mesure de distance introduite par P. C. Mahalanobis en 1936. Elle est basée sur la corrélation entre des variables par lesquelles différents modèles peuvent être identifiés et analysés. C'est une manière utile de déterminer la similarité entre une série de données connues et inconnues. Elle diffère de la distance euclidienne par le fait qu'elle prend en compte la corrélation de la série de données. Ainsi, à la différence de la distance euclidienne où toutes les composantes des vecteurs sont traitées de la même façon, la distance de Mahalanobis accorde un poids moins important aux composantes les plus bruitées (en supposant que chaque composante est une variable aléatoire de type gaussien).

La distance de Mahalanobis est souvent utilisée pour la détection de données aberrantes dans un jeu de données, ou bien pour déterminer la cohérence de données fournies par un capteur par exemple : cette distance est calculée entre les données reçues et celles prédites par un modèle.

Pratiquement, la distance de Mahalanobis d'une série de valeurs de moyenne $\mu = ( \mu_1, \mu_2, \mu_3, \dots , \mu_p )$ et possédant une matrice de covariance $Σ$ pour un vecteur à plusieurs variables $x = ( x_1, x_2, x_3, \dots, x_p )$ est définie comme suit:

$D_M(x) = \sqrt{(x - \mu)^T \Sigma^{-1} (x-\mu)}.\,$

La distance de Mahalanobis peut aussi être définie comme étant la mesure de dissimilarité entre deux vecteurs aléatoires $\vec{x}$ et $\vec{y}$ de même distribution avec une matrice de covariance $Σ$ :

$d(\vec{x},\vec{y})=\sqrt{(\vec{x}-\vec{y})^T\Sigma^{-1} (\vec{x}-\vec{y})}.\,$

Si la matrice de covariance est la matrice identitaire, cette distance est alors la même que la distance euclidienne. Si la matrice de covariance est diagonale, elle est appelée distance euclidienne normalisée:

$d(\vec{x},\vec{y})= \sqrt{\sum_{i=1}^p {(x_i - y_i)^2 \over \sigma_i^2}}$