Diagramme de Hasse
Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.
En mathématiques, le diagramme de Hasse, du nom du mathématicien allemand Helmut Hasse, est une représentation visuelle d'un ordre fini. Similaire à la représentation habituelle d’un graphe sur papier, il en facilite la compréhension.
Pour dessiner un diagramme de Hasse :
- On représente les éléments de l’ordre par des points.
- Si un élément x est plus grand qu’un autre élément y selon « ≤ », on place la représentation de x plus haut que celle de y.
- Le fait que deux éléments sont en relation est représenté par un segment entre ces deux points. Du fait de la disposition des points, on n’a pas besoin d’orienter ces segments avec une flèche (on sait qu’on va du bas vers le haut).
- Pour ne pas charger le schéma, on ne représente pas toute la relation d’ordre, mais seulement sa réduction réflexive transitive : d’une part si x ≤ y, mais qu’il existe z différent de x et de y tel que ( x ≤ z ) ∧ ( z ≤ y ), alors on ne trace pas le segment entre x et y ; d’autre part on ne représente pas les boucles d’un élément vers lui-même.
- On veille autant que possible à ne pas croiser les segments.
En cas d’ordre infini, on peut néanmoins aussi utiliser le diagramme de Hasse pour représenter une restriction finie de l’ordre.
[modifier] Exemples de diagramme de Hasse
- Ici, on a représenté un ensemble ordonné de 11 éléments avec trois éléments maximaux, et un minimum (qui est donc aussi un minorant de l’ensemble et sa borne inférieure).
- Soit l'ensemble A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 } de tous les diviseurs de 60, partiellement ordonné par la relation de divisibilité. On a le diagramme de Hasse suivant :
[modifier] S = {a,b,c,d}
 |
 |
 |
|
Image:Hexa.jpg
405px
|
