Densité (mathématiques)
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En topologie, le concept de densité d'un sous-ensemble A d'un espace topologique X permet de refléter l'idée que pour tout point x de X on peut trouver un point de A qui soit aussi proche de x que possible.
Sommaire |
[modifier] Définition
Soit X un espace topologique et A un sous-ensemble de X. A est dense dans X si pour tout élément x de X, tout voisinage de x contient au moins un élément de A.
De façon équivalente, A est dense dans X si le seul sous-ensemble fermé de X contenant A est X lui-même. C’est-à-dire que l'adhérence de A est X, ou que l'intérieur du complément de A est vide.
Dans le cas d'un espace métrique, il est possible d'utiliser la définition suivante : l'ensemble A dans un espace métrique X est dense si tout élément x de X est la limite d'une suite d'éléments de A.
[modifier] Point dense
Un point x de X est dense si l'ensemble {x} est dense dans X.
[modifier] Exemples
- Tout espace topologique est dense dans lui-même.
- Les ensembles des nombres rationnels (
) et des nombres irrationnels sont denses dans l'ensemble des nombres réels (
) muni de la topologie usuelle. - Un espace métrique M est dense dans sa complétion γM.
- Un espace séparable est un espace topologique possédant un sous-ensemble dense dénombrable.
