Discuter:Développement limité

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Sommaire

1 Poposition d'amélioration (pas le temps de les faires moi meme, désolé ...
2 Quelques erreurs ?
3 déplacement des remarques de l'IP
4 Fonctions de plusieurs variables
5 Incompréhension liée à la fonction epsilon
6 attention il semblerai qu'il y ait une erreure dans le formulaire pour (^1+x)
7 il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour (1+x)^a

[modifier] Poposition d'amélioration (pas le temps de les faires moi meme, désolé ...

Ne serait-il pas plus judicieux d'avoir les Dls des fonctions usuelles et réciproque de maniere générale, et non pas uniquement pour simplement quelques exemple ? Les approximations linéaires ne sont également pas indispensable pour toute personne capable de tronquer un polynome a un certain degré :-) Mieux vaudrait donner les termes généraux des DLs de toute fonction usuel a mon sens ... Je modifirai l'article en fonction de mon temps et de vos avi

Deux raisons pour ne pas les faire figurer. Le principe du développement limité est qu'il est limité. Quand on se veut exhaustif on donne le développement en série entière, le paragraphe en question renvoie d'ailleurs sur cet article où l'on peut trouver le développement en série entière des fonctions usuelles.

Ce même argument de limitation (développement limité) permet de justifier le développement limité classiquement utilisé en physique élémentaire: à quoi s'embêter avec le traitement d'une fonction polynomiale quand une simple fonction affine suffit. Enfin, d'autres auront peut-être un avis différent. HB 12 décembre 2006 à 22:42 (CET)

[modifier] Quelques erreurs ?

Juste une petite chose qui me choque : ne manque-t-il pas des n! ou des i! partout dans l'article? En effet, je pense par exemple que f(x)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)/1!+f"(x0)*(x-x0)²/2!+…+epsilon(x) Qu'en pensez-vous? Nicolas (ENSTB) le 6 avril 2005

Exact. Article corrigé le 23 avril 2005. HB

je pensse la meme chose. je dirais c'est quoi les ai ? des derive ieme ???? puis le 1er et par conséquant Le 2ieme poins me paraissent louche!!! .

Tous le rest resemble a ce ke je sait SAB(06) le 19 octobre 2005

A ce jour la version de l'article est exact. Un développement limité n'est pas forcément un développement de Taylor. Voir paragraphe sur DLn et dérivée nième pour retrouver la formule avec les dérivées. HB 19 octobre 2005 à 14:01 (CEST)

[modifier] déplacement des remarques de l'IP

Dérivation et continuation

Oui et bien c'est dommage qu'il n'existe pas de théorème général sur l'existence d'un développement limité pour la dérivée d'une fonction admettant un développement limité d'ordre n en x.

Votre fonction f est dérivable partout sauf en 0 de dérivée 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²).

Cette dérivée de f est paire donc la dérivée à droite et la dérivée à gauche de f en 0 est la même.

Quand x tend vers 0, d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x

Donc f' (0) = x² sin (1/x²). Quand x tend vers 0, x² tend vers 0 et sin (1/x²) est borné entre 1 et -1, donc f'(0) = 0.

De même quand x tend vers 0, f'(x) = ( f(0) - f(x) ) / (-x) puisque "x tend vers 0" est équivalent à "0 est tendu vers x". Donc quand x tend vers 0, f'(x) tend vers 0, donc f'(x) tend vers f'(0). Donc f' est continue en 0.

Donc je viens de démontrer que cette fonction est continue en 0 aussi donc elle possède un développement limité d'ordre 1 en 0.

On peut remarquer que on trouve que quand x tend vers 0, f'(x) = 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) tend vers 0. sin (1/x²) est bornée entre 1 et -1, et x² tend vers 0 donc 3 x² sin (1/x²) tend vers 0 donc cos (1/x²) tend vers 0.

Et comme 1 /x² tend vers l'infini quand x tend vers 0, quand x tend vers l'infini, cos (x) tend vers 0. On pourrait aussi démontrer que sin(x) tend vers 0 quand x tend vers l'infini.

Réponse à l'intervention de l'IP

Il est faux de dire que

" d'après la définition de la dérivée f'(0) = ( f(x) - f(0) ) /x "

car par définition, la dérivée de f en 0 est la limite de ( f(x) - f(0) ) /x quand x tend vers 0 ce qui donne pour f'(0) , non pas x² sin (1/x²) (ce qui n'a pas de sens ), mais simplement 0.

D'autre part, prouver que la fonction f' est continue en 0 , c'est prouver que la limite en 0 de 3 x² sin (1/x²) - 2 cos (1/x²) existe et vaut f'(0). Ce qui est malheureusement faux : 3 x² sin (1/x²) a bien pour limite 0 en 0, mais 2 cos (1/x²) n'admet pas de limite. La fonction f' n'est donc pas continue en 0.

C'est la raison pour laquelle les observations précédentes ont été ôtées du corps de l'article. HB 13 janvier 2006 à 19:15 (CET)

Pour HB

Chère HB, change de métier et arrêtes les mathématiques. Ce sera mieux. Abandonne aussi Internet. La seule chose que tu peux faire c'est continuer à écrire des articles pour ta Wikipédia.

[modifier] Fonctions de plusieurs variables

Ne serait-il pas pertinent de parler du développement limités de fonctions de plusieurs variables ?

[modifier] Incompréhension liée à la fonction epsilon

Nous ne sommes probablement pas d'accord sur la définition de cette fonction.

La définition que j'ai eu l'occasion d'apprendre est la suivante :

Lorsque

f

est une fonction définie sur un intervalle contenant 0 et telle que :

$\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$ on écrira aussi $f(x) = \varepsilon(x)$ et on dira que

f (x)

est un " $\varepsilon(x)$ ".

Ainsi, on pourra écrire $f(x) = a + \varepsilon(x - x_0)$ pour signifier que $\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = a$

Dans ce sens, et pour être rigoureux, il faudrait donc travailler avec $\varepsilon(x - x_0)$ lorsque l'on se place au voisinage de $x 0$ .

D'ailleur, dans ce même cours, nous écrivions systématiquement comme dernier terme du D.L : $(x - x_0)^n \cdot \varepsilon(x - x_0)$ .

Dans un esprit de rigueur, et si cette définition est exacte, il faudrait donc revoir un certain nombre d'expressions dans la partie définition. À vous de me dire ce que vous en pensez, et quelle autre définition de la fonction epsilon vous avez. Merci d'avance. — Le message qui précède, non signé^?, a été déposé par Gulius44 (d · c), le 11 février 2008 à 18:46.

Il est dangereux d'écrire sans précaution $\varepsilon(x - x_0)$ c'est à dire sans donner son domaine de définition qui ne peut pas être celui de la fonction f. Voilà pourquoi j'ai annulé ton changement de variable. De plus si tu voulais écrire $(x - x_0)^n \cdot \varepsilon(x - x_0)$ , il ne fallait pas laisser deux lignes en dessous que $\varepsilon(x - x_0)$ tendait vers 0 et ceci plus vite que le dernier terme du développement limité. Mais, je comprends que , traditionnellement, on puisse donner un sens (non officiel) à la notation $\varepsilon$ . Peut-être vaut-il mieux l'éviter dès le début. Pourquoi ne pas parler de R(x) avec R comme première lettre de reste ? HB (d) 11 février 2008 à 19:54 (CET)

[modifier] attention il semblerai qu'il y ait une erreure dans le formulaire pour (^1+x)

pour la formule (1+X)^a = 1+ax+ ........ = ((a((x-1)(x-2)...( x-n-1))/ n!) le tout multiplié par x^n l' ereure réside dan la derniere parenthese sur le site il est écrit (x-n+1) au lieu de (x-n-1) ...

C EST A V2RIFIER ET A CORRIGER !!!

[modifier] il semblerai qu'il y ait une erreure dan le formulaire pour (1+x)^a

formule (1+x)^a pour le developpement a la puissance n, il est écrit a(x-1).....(x-n+1) au lieu de a(x-1).....(x-n-1)

C EST A VERIFIER ET A CORRIGER

Il ne semble pas y avoir d'erreur dans la formule proposée par l'article

$(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\,$

Il me semble que vous confondiez avec une autre formule, juste elle aussi, à condition de mettre correctement les parenthèses

$(1+x)^a = 1+ax+\frac{a(a-1)}2x^2+\frac{a(a-1)(a-2)}{3!}x^3+...+\frac{a(a-1)(a-2)...(a-(n-1))}{n!}x^n+o(x^n)\,$

mais celle de l'article me semble plus lisible. HB (d) 4 avril 2008 à 11:06 (CEST)