Déterminant de Cauchy

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En algèbre linéaire, le déterminant de Cauchy est un calcul classique de déterminant, qui peut être relié à des problèmes de fractions rationnelles. Son nom est un hommage au mathématicien Augustin Louis Cauchy.

Le déterminant de Cauchy est un déterminant de taille n et de terme général \frac1{a_i+b_j}, où les complexes a1, ..., an et b1,...,bn sont tels que pour tous i et j, ai+bj est non nul

D_n = \begin{vmatrix} \frac1{a_1+b_1} & \frac1{a_1+b_2} & \dots &\frac1{a_1+b_n} \\ \frac1{a_2+b_1} & \frac1{a_2+b_2} & \dots &\frac1{a_2+b_n} \\ \vdots&\vdots& &\vdots \\ \frac1{a_n+b_1} & \frac1{a_n+b_2} & \dots &\frac1{a_n+b_n} \end{vmatrix}

Lien avec un problème d'interpolation

On recherche une fraction rationnelle ayant exactement n pôles simples, qui sont les ai, et prenant des valeurs fixées en n points distincts des ai (ce sont les opposés des bj).

Si on cherche la fraction rationnelle sous la forme

F(X)=\sum_{i=1}^n \frac{r_i}{X-a_i}

alors les coefficients inconnus ri sont solutions d'un système de taille n, de déterminant un déterminant de Cauchy.

[modifier] Calcul du déterminant de Cauchy

D_n=\frac{\prod\limits_{i<j} (a_j-a_i)\prod\limits_{i<j} (b_j-b_i)}{\prod\limits_{i,j} (a_i +b_j)}\,