Décalage de Bernoulli

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Un décalage de Bernoulli (en anglais Bernoulli shift) est une transformation opérant sur des mots de longueur infinie, étudiée en dynamique symbolique. Étant donné un alphabet Λ, c'est-à-dire un ensemble fini. Un mot infini est une suite (x_n)_{n \in \N} à valeurs dans l'alphabet Λ. Le décalage de Bernoulli est l'application \sigma : \Lambda^{\N} \to \Lambda^{\N} qui décale un mot d'un cran vers la gauche :

\forall x \in \Lambda^{\N}, \sigma(x)_n = x_{n+1}

On peut définir de même les décalages de Bernoulli pour des mots infinis indexés sur \Z et les résultats et propriétés énoncés sont similaires.

[modifier] Le décalage de Bernoulli vu comme système dynamique topologique

Il faut munir l'ensemble \Lambda^{\N} des mots infinis d'une structure topologique pour laquelle σ soit continue. Pour cela, on définit la distance d par :

d(x,x) = 0 et d(x,y) = 2^{-\min \{n / x_n \neq y_n\}} si x \neq y

Cette structure rend \Lambda^{\N} compact et σ est alors 2-lipschitzienne donc continue.

[modifier] Le décalage de Bernoulli vu comme système dynamique mesuré

Munissons Λ d'une structure d'espace de probabilité (\Lambda, \mathcal{P}(\Lambda), \mu), ce qui revient à assigner à chaque lettre i \in \Lambda une fréquence d'apparition μ({i}) = pi. On introduit ensuite le produit d'espaces de probabilité :

(\Lambda^{\N}, \mathfrak{B}, m) = \prod_{n = 0}^{+\infty} (\Lambda, \mathcal{P}(\Lambda), \mu)

σ est alors une application mesurable et on peut même montrer que l'entropie métrique d'un décalage de Bernoulli vaut :

h(\sigma) = - \sum_{i \in \Lambda} p_i \log p_i
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