Corrélation croisée

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La corrélation croisée est parfois utilisée en statistique pour désigner la covariance Cov(X,Y) des vecteurs aléatoires X et Y, afin de distinguer ce concept de la "covariance" d'un vecteur aléatoire X, laquelle est comprise comme étant la matrice des covariances des coordonnées de X.

En traitement du signal, la corrélation croisée (aussi appelée covariance croisée) est la mesure de la similarité entre deux signaux.

On utilise le terme covariance entre deux signaux A et B dans le cas de la définition statistique :

\Gamma_{AB}(\tau) = E\left( A(t)B(t-\tau) \right) \,,

et le terme de corrélation croisée (ou intercorrélation) dans le cas d'une définition temporelle :

\Gamma_{AB}(\tau) = A \ast B^*(-) = \int A(t)B^*(t-\tau) \, dt.

Les deux concepts sont équivalents si les signaux sont ergodiques à l'ordre deux.

La transformée de Fourier de la corrélation croisée est la densité spectrale d'interaction :

\gamma_{AB}=\mathcal{F}[\Gamma_{AB}](\tau) = \mathcal{F}[A]\cdot \mathcal{F}[B^*(-)] =a(\nu) \cdot b^*(\nu).