Conditions aux limites de Neumann

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En mathématiques, une condition aux limites de Neumann (nommée d'après Carl Neumann) est imposée à une équation différentielle ou à une équation aux dérivées partielles lorsque l'on spécifie les dérivées des valeurs que la solution doit vérifier sur les frontières/limites du domaine.

Dans le cas d'une équation différentielle telle que :

$\frac{d^2y}{dx^2} + 3 y = 1$

sur l'intervalle $[0,1]$ , la condition aux limites de Neumann s'exprime par :

y'(0) = α 1

y'(1) = α 2

où $α 1$ et $α 2$ sont deux nombres donnés.

Pour une équation aux dérivées partielles sur un domaine $\Omega\subset R^n$ telle que :

Δ y + y = 0

où $Δ$ exprime le Laplacien (opérateur différentiel), la condition aus limites de Neumann s'exprime par :

$\frac{\partial y}{\partial \overrightarrow{\nu}}(x) = f(x) \quad \forall x \in \partial\Omega$

où $f$ est une fonction connue définie sur la limite ∂Ω et à valeurs scalaires ; et $\overrightarrow{\nu}$ est le vecteur normal à la frontière ∂Ω. La dérivée normale dans le membre de gauche de l'équation, est définie par :

$\frac{\partial y}{\partial \overrightarrow{\nu}}(x)=\overrightarrow{\nabla} y(x)\cdot \overrightarrow{\nu} (x)$

où $\overrightarrow{\nabla}$ est l'opérateur vectoriel de gradient, et le point marque le produit scalaire.

[modifier] Voir aussi

La condition aux limites de Neumann est une condition qui apparaît naturellement dans les problèmes de transport. Il existe d'autres conditions possibles, par exemple les conditions aux limites de Dirichlet ou les conditions aux limites mixtes qui sont une combinaison des conditions de Neumann et Dirichlet.