Cercle trigonométrique

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Le cercle trigonométrique ou cerclé unité est un cercle dont le rayon est égal à 1, et qui est centré sur l'origine du repère orthonormé, dans le plan euclidien.

[modifier] Fonctions trigonométriques sur le cercle

Illustration du cercle trigonométrique unitaire, la variable t est l'angle de mesure.

Notons O=(0, 0). Soit $(O, \vec{i},\vec{j})$ un repère orthonormé de $\mathbb{R}^2$ .

Soit M un point du cercle trigonométrique de coordonnées (x, y), et $\vec{u}=\overrightarrow{OM}$ son vecteur associé. Si t, un réel, est une mesure de l'angle $\left(\widehat{\vec{i},\vec{u}}\right)$ alors

$\begin{cases}x = \cos(t) \\y = \sin(t)\end{cases}$

Et l'équation cartésienne du cercle donne immédiatement une identité trigonométrique connue:

$\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1 \,\!$

Le cercle trigonométrique peut aussi donner un moyen intuitif de réaliser que les fonctions sinus et cosinus sont des fonctions périodiques, vérifiant les relations:

$\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \cos(t) = \cos(2k\pi+t)$

$\forall t\in\R,\ \forall k\in\mathbb{Z},\quad \sin(t) = \sin(2k\pi+t)$ .

Ces égalités s'interprètent par le fait que le point (x,y) reste le même après que nous ayons ajouté ou retranché un multiple entier de 2π et ainsi effectué plusieurs tours complets du cercle. Lorsqu'elles sont définies à partir d'un triangle rectangle, les valeurs des fonctions sinus, cosinus et d'autres fonctions trigonométriques n'ont de sens que pour des angles compris entre 0 et π/2, mais dans le cercle trigonométrique leurs valeurs prennent un sens en n'importe quel réel.