Carré magique d'inverses de nombres premiers
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En mathématiques, un inverse est le nombre 1 divisé par un autre nombre (aussi appelé fraction unitaire), comme 1/3 ou 1/7. En base 10, le reste, et donc les chiffres, de 1/3 se répètent une fois : 0,3333... Néanmoins, la période répétitive du développement décimal de 1/7 est de six chiffres = 0,142857142857142857... Si vous examinez les multiples de 1/7, vous pouvez voir que chacun est une permutation cyclique de ces six chiffres :
1/7 = 0,1 4 2 8 5 7...
2/7 = 0,2 8 5 7 1 4...
3/7 = 0,4 2 8 5 7 1...
4/7 = 0,5 7 1 4 2 8...
5/7 = 0,7 1 4 2 8 5...
6/7 = 0,8 5 7 1 4 2...
Si ces chiffres sont disposés dans un carré, il est évident que chaque ligne donnera la somme 1+4+2+8+5+7, ou 27, et seulement légèrement moins évident que chaque colonne donnera aussi le même nombre, et par conséquent, nous avons un carré magique :
1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2
Néanmoins, aucune diagonale ne donnera 27, mais tous les autres inverses de nombres premiers en base 10 avec une période maximum p-1 produisent des carrés dans lesquels toutes les lignes et les colonnes ont une somme identique. Dans le carré produit à partir de 1/19, avec la période maximale de 18 et les sommes lignes-colonnes égales à 81, les deux diagonales ont aussi pour somme 81, et ce carré est par conséquent pleinement magique :
01/19 = 0,0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1...
02/19 = 0,1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2...
03/19 = 0,1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3...
04/19 = 0,2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4...
05/19 = 0,2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5...
06/19 = 0,3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6...
07/19 = 0,3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7...
08/19 = 0,4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8...
09/19 = 0,4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9...
10/19 = 0,5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0...
11/19 = 0,5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1...
12/19 = 0,6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2...
13/19 = 0,6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3...
14/19 = 0,7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4...
15/19 = 0,7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5...
16/19 = 0,8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8 9 4 7 3 6...
17/19 = 0,8 9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7...
18/19 = 0,9 4 7 3 6 8 4 2 1 0 5 2 6 3 1 5 7 8...
Le même phénomène apparaît avec d'autres nombres premiers dans d'autres bases. La table suivante liste certains d'entre eux, donnant le nombre premier, la base, et le total magique (dérivé à partir de la formule : base-1 x nombre premier-1 / 2) :
| Nombre premier | Base | Total |
|---|---|---|
| 19 | 10 | 81 |
| 53 | 12 | 286 |
| 53 | 34 | 858 |
| 59 | 2 | 29 |
| 67 | 2 | 33 |
| 83 | 2 | 41 |
| 89 | 19 | 792 |
| 167 | 68 | 5 561 |
| 199 | 41 | 3 960 |
| 199 | 150 | 14 751 |
| 211 | 2 | 105 |
| 223 | 3 | 222 |
| 293 | 147 | 21 316 |
| 307 | 5 | 612 |
| 383 | 10 | 1 719 |
| 389 | 360 | 69 646 |
| 397 | 5 | 792 |
| 421 | 338 | 70 770 |
| 487 | 6 | 1 215 |
| 503 | 420 | 105 169 |
| 587 | 368 | 107 531 |
| 593 | 3 | 592 |
| 631 | 87 | 27 090 |
| 677 | 407 | 137 228 |
| 757 | 759 | 286 524 |
| 787 | 13 | 4 716 |
| 811 | 3 | 810 |
| 977 | 1 222 | 595 848 |
| 1 033 | 11 | 5 160 |
| 1 187 | 135 | 79 462 |
| 1 307 | 5 | 2 612 |
| 1 499 | 11 | 7 490 |
| 1 877 | 19 | 16 884 |
| 1 933 | 146 | 140 070 |
| 2 011 | 26 | 25 125 |
| 2 027 | 2 | 1 013 |
| 2 141 | 63 | 66 340 |
| 2 539 | 2 | 1 269 |
| 3 187 | 97 | 152 928 |
| 3 373 | 11 | 16 860 |
| 3 659 | 126 | 228 625 |
| 3 947 | 35 | 67 082 |
| 4 261 | 2 | 2 130 |
| 4 813 | 2 | 2 406 |
| 5 647 | 75 | 208 902 |
| 6 113 | 3 | 6 112 |
| 6 277 | 2 | 3 138 |
| 7 283 | 2 | 3 641 |
| 8 387 | 2 | 4 193 |
