Basofactorielle
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La basofactorielle d'un nombre réel a en base q se note a!q. C'est le produit de tous les réels strictement positifs espacés de q unités compris entre 1 et le plus grand multiple de q inférieur à a − 1, qui sont ensuite multipliés par a, soit :
[modifier] Définition
[modifier] Cas où
On peut aussi exprimer la fonction basofactorielle ainsi :
Explication
Par hypothèse, on sait que i.e. il existe un entier k tel que autrement dit .
Bases remarquables :
- Pour q = 0,1 et avec , on peut établir une égalité liant basofactorielle et factorielle commune :
Ou plus généralement pour q = 10 − n et avec on a :
- La fonction factorielle commune n'est en réalité qu'une fonction basofactorielle de base q = 1.
[modifier] Généralisation
Lorsque a − 1 n'est pas divisible par q, la précédente formule ne suffit plus pour les cas comme
On définit donc la fonction basofactorielle en base q en utilisant la fonction partie entière inférieure par :
Application de la formule
Reprenons l'exemple 2,6!0,7.