Discuter:Axiomes de Hilbert

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Pourquoi cet article est-il dans la catégorie algèbre bilinéaire? Valvino 19 avril 2007 à 16:05 (CEST)

Je pense que c'est parcequ'il parle de géométrie donc indirectement de produit scalaire... Alors que ce point de vue est justement abandonné par cette approche. Je supprime cette référence.Mû 19 avril 2007 à 16:37 (CEST)

[modifier] Contexte

Je n'ai pas l'impression que le mot français "assomption" soit correct pour parler d'axiomes. Le mot anglais "assumption" est correct dans un contexte anglophone. Michel421 22 juillet 2007 à 21:31 (CEST) retiré.

assumption = supposition, hypothèse.Claudeh5 16 octobre 2007 à 16:51 (CEST)

[modifier] Points problématiques

J'ai trouvé une autre formulation il y a quelques divergences :

• l'axiome III1 précise : « AB est congru à AB et BA » cela semble nécessaire
• axiomes IV et V sont permutés
• pas d' "Axiome de Cantor" mais un "axiome d'intégrité" (idem pour la version (en)) (je dirais plutôt un pure méta-axiome de logique math. ... et « notion »  ?) :

Il n'est pas possible d'adjoindre aux trois notions fondamentales de point, droite et plan une autre notion tout en conservant tous les axiomes précédents.

• mais surtout il y a un second énoncé de l'axiome d'archimède (voir la mise en commentaire dans Axiome d'Archimède#L'axiome de continuité) également foireux : « A1,...,An du segment AB » et « B est entre A1 et An ». Aie ! c'est possible en géométrie projective mais pas en géométrie affine (pas de bouclage). Amha, on peut rectifier (pour les deux) en supprimant « A1,...,An du segment AB » et précisant « points distincts » (cela va de soi) ... en partie seulement car la formulation me parait totalement baclée. Ceci pourrait être correct à vue de nez  :

Soient A, B, A₁,...,A_n,... des points d'une droite ; supposons A₁ situé entre A et B ; supposons en outre la congruence des segments AA₁, A₁A₂, ... Cette suite comporte au moins un point A_n tel que B est entre A et A_n.

{{User:STyx/Signature}} 3 octobre 2007 à 19:19 (CEST)

L'axiome de Cantor correspond à l'idée de complétude en France, je ne le traduirais pas par intégrité, en général plus associé à la notion de diviseur de zéro. L'axiome d'Archimède tourne autour du fait que pour tout a et b strictement positif, il existe un entier n tel que n.b est strictement plus grand que a. Cet axiome s'applique à ma connaissance surtout sur les groupes abéliens totalement ordonnés archimédiens. La figure explicative est la suivante : Axiomes de continuité correspondant à la source utilisée pour la rédaction de l'article. Ta formulation est un peu maladroite, on suppose A et B (correspondant au a du groupe, on suppose C et D correspondant au b, alors il existe une suite A₁, A_n qui ne peut être initialement donné, mais construite sur mesure. L'axiome évite en général l'utilisation d'une suite infinie. Jean-Luc W 4 octobre 2007 à 09:37 (CEST)

[modifier] "I.4: [...] Tout plan contient au moins un point."

Merci beaucoup pour votre travail.

Pourquoi Hilbert n'aurait-il pas plutôt spécifié : "au moins trois points" ; cela me semble immédiatement déductible de ce qui précède ... Et si c'est déductible, pourquoi en parler ? Je veux dire en tant qu'axiome, en tant que théorème cela se concevrait mieux, non ?

Cordialement, Didier R. Desbordes

L'objectif de Hilbert est de définir un jeu minimal, c'est à dire que les axiomes doivent être les plus simples possibles et les moins nombreux possibles. Si Hilbert avait écrit Tout plan contient au moins trois points, il aurait utilisé une base axiomatique qui semble moins minimal que celle qu'il a choisi. Cette base axiomatique permet de montrer qu'il existe non seulement trois points mais une infinité dans une droite et donc dans un plan (cf II 2. et II 3.).

Sans cet axiome, l'ensemble vide correspond à la définition d'un plan. Comme cette idée ne correspond pas à notre intuition, Hilbert précise par un axiome que cette configuration n'est pas possible.

C'est gentil d'apprécier le travail des contributeurs. Jean-Luc W (d) 6 juin 2008 à 22:45 (CEST)