Discuter:Axiome du choix

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Euh, au fait, qu'est-ce qu'une « classe des parties d'un ensemble » ? Il me semblait que les parties d'un ensemble (poset) formaient un ensemble, et donc toute partie du poset est aussi un ensemble, donc en aucun cas une classe propre. Pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué ? --[[Utilisateur:Aldoo|Aldoo✉]] 7 déc 2004 à 19:45 (CET)

Sommaire

[modifier] Erreur dans la définition

Il me semble que la première définition de l'axiome du choix est incorrecte. Remplacer par : il existe une fonction f de C dans E telle que pour tout X dans C, f(X) appartient à C (et non à E) (dans la définition donnée, il suffit de prendre une fonction constante égale à un élément de E)

[modifier] Hmm...

Appartient à X plutôt... Hmmmm...

[modifier] Hm-Hm !

Ben non, je dirais plutôt à E :
Déjà une fonction f de C dans E, ça donne un bon indice pour dire que l'image d'un élément de C par f sera dans E.
Il suffit d'un petit exemple pour s'en convaincre :
Soit E : {1,2,3}
On a donc P(E): {{Ø},{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}
Et C est un sous-ensemble de P(E) (ne contenant pas {Ø}), par exemple {{1},{1,2,3},{1,3}}
La définition dit ceci :
C est une famille d'ensembles à chacun desquels ont peut associer une fonction qui lui associe un de ses éléments.
Par exemple, on peut imaginer une fonction qui à un ensemble associe le dernier de ses éléments : f({1}) = 1, f({1,2,3}) = 3, f({1,3}) = 3.
Vous voyez bien que les éléments des ensembles qui forment l'ensemble C sont des éléments de E !
--Lolo101 30 août 2005 à 15:29 (CEST)
Bon ok, en mettant X c'est plus précis. Mais dans la mesure où X est une partie de E, ça marche aussi bien avec E.
--Lolo101 8 septembre 2005 à 16:33 (CEST)

[modifier] Erreur frequente

je reviens la dessus, parce que ya pas mal de gens qui font l'erreur et qui "corrigent" l'article. c'est bien f(X) \in X, puisque f est une fonction de choix, c'est à dire une fonction capable de choisir un élément de X. donc non, ca ne marche pas avec E, sinon il suffirait en effet de prendre une fonction constante. par contre, la fonction est bien a valeur dans E puisque on cherche une fonction qui marche pour tout X. par exemple : on prend E=\mathbb{N}, C=P(\mathbb{N}), une fonction de choix pourrait etre la fonction "minimum". en effet, pour tout X\in P(\mathbb{N}), min(X) \in X, mais min est bien a valeur dans \mathbb{N}.Jobert 18 avril 2006 à 21:59 (CEST)

[modifier] un point à préciser

L'axiome de choix n'est nullement nécessaire pour écrire soit e élément de A (lorsque A est non vide) (quand bien même A est potentiellement un produit infini) ? C'est l'écriture de e en tant que produit infini qui requiert AC. Ainsi construire une surjection de B sur A à partir d'une injection de A sur B ne requiert pas AC ? La construction inverse ... ? (voir aussi Théorème de Cantor-Bernstein)   <STyx

Si A est non vide et f est une injection de A sur B alors il existe g (surjective) de B dans A telle que gof = Id_A, sans faire appel à l'axiome du choix.

L'énoncé (pour tous ensembles A et B et toute surjection g de B dans A, il existe f (injective) de A dans B telle que gof = Id_A) est une formulation de l'axiome du choix. --Spoirier 3 juillet 2007 à 23:12 (CEST)

[modifier] Autre formulation

Bonjour


Quelqu'un saurait-il m'expliquer l'équivalence avec la phrase "le produit d'une famille d'ensembles non vides est non vide" ? merci :) Ripounet 24 août 2006 à 10:27 (CEST)

Une famille d'ensembles (E_{i})_{i \in I} est par définition une application f de I dans \bigcup_{i \in I}{E_{i}} telle que, pour tout i \in I, f(i) \in E_{i}.
  • Si on suppose que tout produit d'ensemble non vide est non vide: soit E un ensemble non vide et considèrons la famille des parties non vides de E, i.e. (X)_{X \in P(E) \setminus \{\emptyset\}}: un élément du produit de cette famille est une fonction de choix sur E.
  • Si on suppose l'axiome du choix: considérons une famille (E_{i})_{i \in I} d'ensemble non vides et posons E=\bigcup_{i \in I}{E_{i}}. Soit f une fonction de choix sur E et posons, pour i \in I, g(i) = f(Ei). Alors g est une application de I dans \bigcup_{i \in I}{E_{i}} et, pour tout i, g(i) \in E_{i}, ce qui montre que g \in \prod_{i \in I}{E_{i}} qui est donc non vide.
Mû 24 août 2006 à 12:09 (CEST)

[modifier] ADC Dénombrable

Il existe de définir une fonction de choix pour une famille finie d'ensembles non vides. Il me semble qu'on peut déduire l'ADC dénombrable du principe de récurrence, non ?

Ekto - Plastor 21 février 2007 à 20:07 (CET)

Non, je ne vois pas. Pourrais-tu donner en détail la démonstration que tu proposes stp? Mû 23 février 2007 à 07:45 (CET)
Soit $n\in\mathbb{N}$. Supposons qu'il y ait une fonction de choix pour $n$ ensembles quelconques de la famille. etc...
Je pense aussi qu'Ekto a raison. Oxyde 23 février 2007 à 10:52 (CET)
Pour un ensemble non vide, par définition, il est non vide, donc il existe un élément à l'intérieur.
Si une fonction de choix existe pour n ensembles non vides, en ajoutant un n+1-ième ensemble non vide et en choississant un élément à l'intérieur, on prolonge la fonction de choix.
Moyennant le principe de récurrence, l'axiome du choix dénombrable est vrai.
Attention, on ne peut pas faire de récurrence transfinie car sans l'axiome du choix, on n'a aucune notion de cardinalité autre que fini et dénombrable. Ekto - Plastor 23 février 2007 à 11:08 (CET)
Je ne suis pas d'accord. Pour formaliser correctement une construction par récurrence on utilise l'axiome du choix dépendant (autrement dit, tu démontres ainsi que l'axiome du choix dépendant entraîne l'axiome du choix dénombrable, c'est tout). Mû 23 février 2007 à 16:47 (CET)

[modifier] Détails divers

Il y a plusieurs choses qui me chiffonnent dans l'article:

- Il y a une première formulation, puis soi-disant un énoncé équivalent avec les produits. En fait c'est rigoureusement la même chose: une fonction de choix c'est ni plus ni moins un élément du produit, donc dire qu'il y existe une fonction de choix c'est dire que leur ensemble est non vide. Pourquoi prétendre que c'est un autre énoncé ?

- Par contre, dans chacun des deux cas, la formule écrite en langage mathématique est un énoncé vraiment différent, bien qu'équivalent, de celui écrit en français qu'elle était sensée traduire. Pourquoi faire semblant que c'est le même énoncé ? En effet, la formule ne parle pas d'une famille d'ensembles, mais d'un ensemble d'ensembles. Ce n'est pas la même chose. Quand on a un énoncé sur les familles, on peut en déduire un énoncé sur les ensembles, en traduisant l'ensemble E (d'ensembles ou de n'importe quoi d'autre) par la famille Id_E. Inversement, le cas d'une famille peut se ramener au cas d'un ensemble en prenant l'ensemble image de cette famille, sauf que des fois ça risque de ne pas marcher si la famille n'est pas injective. Ici en l'occurence pour l'axiome du choix on a de la chance, l'équivalence des énoncés se montre facilement, mais ça mérite une petite démonstration, qui n'a pas à être sous-entendue.

- Ca ne sert à rien de se restreindre aux produits de familles non vides d'ensembles : trivialement, le produit de la famille vide est aussi non vide.

- La formule sous-entend que tout objet est automatiquement un ensemble d'ensembles. Ca a beau être la tradition en matière de formalisation de la théorie des ensembles, ça ne ressemble pas à la pratique normale des mathématiques, et je conteste la pertinence de cette tradition. Elle a déjà manifestement un effet pevers au vu des aberrations que je viens d'expliquer précédemment, à savoir qu'elle ne donne pas envie d'écrire des énoncés sur des familles d'ensembles alors même qu'au fond c'est de ça qu'on voulait parler, mais fait passer pour simplificateur leur remplacement formel par des énoncés sur des ensembles d'ensembles, qui sont pourtant hors sujet. Voir mon approche de la théorie des ensembles ici.--Spoirier 3 juillet 2007 à 20:30 (CEST)

D'accord avec les premiers constats, il faut peut être d'ailleurs se retenir d'écrire une formule quand ça n'ajoute rien. Mais je ne crois pas que ce soit si important que tout objet soit un ensemble pour ces énoncés. Ils restent les mêmes, et historiquement, Zermelo énonce l'axiome du choix avant sa théorie des ensembles, qui de toute façon a des atomes. Il serait par ailleurs utile de montrer qu'une forme de l'axiome s'énonce dans le langage de ZF, mais ça n'a pas besoin d'être dans le paragraphe d'introduction. Proz 10 juillet 2007 à 19:53 (CEST)

[modifier] exemples

Il serait interessant amha d'avoir quelques exemples de propositions qu'on demontre avex l'axiome du choix, et pas sans. Voir meme d'illustrer en detaillant l'intervention de laxiome dans la demonstration. patapiou (Discuter) 25 juillet 2007 à 16:14 (CEST)

[modifier] fonction de choix

J'ai remis le lien vers l'article fonction de choix car la définition de la fonction de choix me paraît importante pour la compréhension de l'article "axiome de choix". Si j'ai mis un article différent (j'aurais pu l'intégrer à l'article) , c'est qu'il s'agit d'un vocable distinct correspondant à un mot que l'on va trouver dans un dictionnaire mathématique et que le débutant en mathématiques va chercher à connaître.--Tv 28 septembre 2007 à 14:24 (CEST)

Pour être plus clair, l'article fonction de choix est actuellement ou incompréhensible pour de simples raisons de syntaxe (1ere phrase) ou faux (2nde), les 3 mots de l'article présent sur le sujet sont au moins corrects et plus à même de donner une idée de ce qu'est une fonction de choix. Je persiste à penser que ce lien est mal venu. Proz 28 septembre 2007 à 15:04 (CEST)
J'ai essayé de clarifier un peu l'article en question. C'est un peu lourdingue, mais j'ai fait ce que j'ai pu, avis aux amateurs :) Jobert 28 septembre 2007 à 19:27 (CEST)
La définition de fonction de choix donnée dans le présent article axiome du choix est plus claire que la version donnée dans fonction de choix. Je suis donc de l'avis de Proz. L'article fonction de choix me paraît superflu. Il suffit de rapatrier dans axiome du choix les exemples qui y figurent, avec qqs corrections. Theon 29 septembre 2007 à 08:42 (CEST)
redirect fait : on pourra ainsi accéder à l'article par fonction de choix, avec une définition accessible (répond à l'objection de Tv). Risque sinon de voir se développer un doublon, vu la proximité des deux sujets. Proz 30 septembre 2007 à 17:45 (CEST)

[modifier] "cas où l'axiome du choix est nécessaire" : étranges formulations

Qu'est ce que ça veut dire "un ensemble fini au sens de Dedekind est un ensemble fini"? Je pense que le rédacteur a voulu dire que sans l'axiome du choix un ensemble fini au sens de Dedekind - pas de bijection avec l'un de ses sous-ensembles propres - ne serait pas nécessairement fini au sens usuel - bijection avec un entier ou bijection avec une section commençante de N ou présence dans toute famille non vide de parties de E d'un élément minimal pour l'inclusion. Mais cela mérite d'être explicité.

D'autre part en quoi les décompositions de Banach sont-elles "étranges" d'autant plus que c'est AC (ici supposé "nécessaire") qui les rend "étranges" ? Cela me parait beaucoup moins "étrange" que la possible existence d'ensembles finis selon une définition et infinis selon une autre définition (cf au-dessus) ou que la négation ou l'indécidabilité du théorème de Steinitz selon lequel tout corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos (cf théorie axiomatique des ensembles).

A propos de théorie axiomatique des ensembles il y a un assez long § "axiome du choix" qui fait un peu doublon avec cet article. Donc je n'interviens pas ici, je vous laisse décider de l'organisation à adopter.--Michel421 (d) 16 mars 2008 à 15:42 (CET)

L'article présent est mal organisé, incomplet, il mérite certainement d'être réécrit quasiment de zéro. Maintenant il ne contient pas non plus d'erreur manifeste, ce qui est déjà quelquechose (cf.ci-dessus). Proz (d) 16 mars 2008 à 16:32 (CET)

Je supprime quand même la référence à la notion d'algorithme pour l'exemple de Russell (il n'y a pas de rapport direct), et je déplace ici une référence qui aurait probablement un intérêt si l'article était beaucoup plus développé sur les versions faibles de l'axiome du choix. Mais là elle me semble citée à tort (l'axiome du choix dénombrable pour des ensembles ayant deux éléments ne se démontre pas dans ZF). (en)[pdf] Peter G. Doyle, John Horton Conway, « Division by three », 1994. Consulté le 12/06/2007. Proz (d) 16 mars 2008 à 16:43 (CET)