Arbre de Pythagore
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L'arbre de Pythagore est une fractale plane construite à l'aide de carrés. Elle porte le nom de Pythagore car chaque triplet de carrés en contact enclôt un triangle rectangle, une configuration traditionnellement utilisée pour illustrer le théorème de Pythagore.
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[modifier] Construction
La construction de l'arbre de Pythagore début avec un simple carré. Sur ce carré sont construits deux autres carrés, chacun plus petit d'un facteur ½√2, tels que les coins des carrés soient en contact. La procédure est appliqué récursivement à chaque carré, jusqu'à l'infini. L'illustration ci-dessous illustre les premières itérations de la construction.
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[modifier] Aire
La ne itération ajoute 2n carrés de côté (½√2)n, pour une aire totale de 1. Ainsi, l'aire totale de l'arbre semble a priori tendre vers l'infini. Cependant, certains des carrés se superposent à partir de la 5e itération et l'arbre possède finalement une aire finie et tient en fait dans un rectangle de 6×4.
[modifier] Variations
En conservant la contrainte de former un triangle rectangle à partir de trois carrés, mais en donnant des tailles différentes à chacun des carrés ajoutés à chaque itérations, il est possible de créer des formes fractales similaires à l'arbre de Pythagore. L'illustration suivante illustre un telle variation (les carrés sont indiqués en noir, les triangles rectangles en bleu).
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