Algèbre de Hopf quasi-triangulaire

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En mathématiques, une algèbre de Hopf H est dite quasi-triangulaire s'il existe un élément inversible R \in H \otimes H qui vérifie :

  • \forall x \in H,\ \Delta^{op}(x)=R\Delta(x) R^{-1}
  • (1 \otimes \Delta)(R)=R_{13}R_{12}
  • (\Delta \otimes 1)(R)=R_{13}R_{23}

où :

  • Δ est le coproduit de H
  • Si \Delta(x)=\sum x_i^{(1)} \otimes x_i^{(2)}, alors \Delta^{op}(x)=\sum x_i^{(2)} \otimes x_i^{(1)}
  • Si R=\sum a_i \otimes b_i, alors
    • R_{12}=\sum a_i \otimes b_i \otimes 1
    • R_{13}=\sum a_i \otimes 1 \otimes b_i
    • R_{23}=\sum 1 \otimes a_i \otimes b_i

Sommaire

[modifier] Applications

[modifier] Mécanique statistique

À partir des relations précédente, on prouve que R fournit une solution de l'equation de Yang-Baxter quantique :

R12R13R23 = R23R13R12

[modifier] Algèbre et topologie

La donnée d'un algèbre de Hopf quasi-triangulaire permet de construire des représentations du groupe de tresse. Plus précisément, la catégorie des représentations d'une algèbre de Hopf quasi-triangulaire est une catégorie monoïdale tressée.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Références

  • Christian Kassel, Quantum Groups, Springer-Verlag, Vol. 155 (1995)