Absolue continuité

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques,on introduit les notions de fonction absolument continue et de mesure absolument continue. Ces deux concepts entretiennent des rapports.

Sommaire

1 Fonction absolument continue
2 Mesure absolument continue
3 Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue
4 Voir aussi

[modifier] Fonction absolument continue

[modifier] Motivation

Une fonction continue $f\,$ sur un intervalle est égale à la dérivée de son intégrale $\int_a^x f(t)dt$ (théorème fondamental de l'analyse). Dans un cadre plus général, celui de l'intégrale de Lebesgue, une fonction $L^1\,$ est égale presque partout à la dérivée de son intégrale. Par contre, une fonction presque partout dérivable, même si la dérivée est $L^1\,$ , peut ne pas être égale à l'intégrale de sa dérivée. L'escalier du diable est un exemple de cette pathologie. Les fonctions absolument continues sont faites pour exclure ce phénomène gênant.

[modifier] Définition

Sur $A=[a,b]\,$ un intervalle. On dit que la fonction f est absolument continue sur A si, pour tout réel $\epsilon > 0\,$ , il existe un $\delta > 0\,$ tel que, pour toute suite $([a_n, b_n])_{n \in \mathbb{N}} \,$ de sous-intervalles de A d'intérieurs disjoints,

$\sum_{n \geq 0}{(b_n-a_n)} < \delta \Rightarrow \sum_{n \geq 0}{|f(a_n)-f(b_n)|}< \epsilon$

[modifier] Propriétés

Si une fonction F est continue sur un segment $[a,b]\,$ , alors il existe une fonction f intégrable sur $[a,b]\,$ (au sens de Lebesgue) telle que pour tout

$x \in [a,b], F(x)-F(a) = \int_a^x {f(t) dt}$ si et seulement si F est absolument continue sur $[a,b]\,$ .

Toute fonction absolument continue

sur un intervalle est à variation bornée sur cet intervalle.

Si f est absolument continue sur l'intervalle $[a,b]\,$ , alors elle possède la propriété N de Luzin : l'image par $f\,$ de tout ensemble de mesure nulle (pour la mesure de Lebesgue) est de mesure nulle.
Si f est absolument continue, alors f est dérivable presque partout.
Si f est continue, à variation bornée et possède la propriété N de Luzin, alors elle est absolument continue.

[modifier] Contre-exemple

La fonction continue qui a pour graphe l'escalier du diable n'est pas absolument continue : l'image de l'ensemble de Cantor, qui est de mesure nulle, est $[0,1]\,$ tout entier.

[modifier] Mesure absolument continue

Soient $μ$ et $ν$ deux mesures complexes sur un espace mesuré $(\mathcal{X},\Tau)$ . On dit que $ν$ est absolument continue par rapport à $μ$ si et seulement si pour tout ensemble mesurable $A$ , $\mu(A)=0\Rightarrow \nu(A)=0$ , ce que l'on note $\nu \ll \mu$ .

Le théorème de Radon-Nikodym donne une autre caractérisation dans le cas où $μ$ est positive, $σ$ finie et $ν$ est complexe, $σ$ finie: il existe alors $f$ fonction mesurable telle que $d ν = f d μ$ .

[modifier] Lien entre fonction réelle absolument continue et mesure absolument continue

Une mesure $μ$ sur l'ensemble des boréliens de la droite réelle est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue si et seulement si la fonction de répartition associée

$F:x\mapsto\mu(]-\infty,x])$

est localement une fonction absolument continue. Autrement dit, une fonction $F$ est localement absolument continue si et seulement si sa distribution dérivée est une mesure absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue.