Équation de la cafetière

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L'équation de la cafetière est, de manière usuelle, une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants, correspondant à une variation de concentration (massique ou molaire) lors d'une opération de dilution par exemple.

[modifier] Mise en équation (cas de concentrations molaires)

Soit un récipient de volume constant V, contenant initialement un volume V d'une solution de concentration C0. On verse dans ce récipient avec un débit volumique Q une solution de concentration constante K. Selon quelle fonction évolue le concentration c(t) à l'intérieur du récipient ?

Soit n(t) la quantité d'éléments en solution. A chaque instant, on a donc :

c(t) = \frac{n(t)}{V}\,

Le récipient étant de volume constant V, la variation de quantité d'éléments en solution dn, pendant un instant dt, est égal à la différence entre la quantité introduite (Q * K * dt,) et la quantité qui s'en échappe (Q * c(t) * dt,) :

dn = KQdt - c(t)Qdt\,

D'où :

\frac{d}{dt}c(t) = \frac{KQ}{V} - \frac{Q}{V}c(t)\,

Et comme c(0) = C0, on a finalement :

c(t) = K + (C_0 - K) e^{-\frac{Q}{V}t}

Remarque : Lorsque t tend vers l'infini, la concentration dans le récipient tend bien vers K.

[modifier] Application

Cette équation traduit notamment l'évolution de la concentration de café dans une cafetière placée dans un évier, lorsqu'on y fait couler de l'eau claire ; c'est d'ailleurs cette application qui lui donne son nom.