Équation de la cafetière
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L'équation de la cafetière est, de manière usuelle, une équation différentielle linéaire d'ordre un à coefficients constants, correspondant à une variation de concentration (massique ou molaire) lors d'une opération de dilution par exemple.
[modifier] Mise en équation (cas de concentrations molaires)
Soit un récipient de volume constant V, contenant initialement un volume V d'une solution de concentration C0. On verse dans ce récipient avec un débit volumique Q une solution de concentration constante K. Selon quelle fonction évolue le concentration c(t) à l'intérieur du récipient ?
Soit n(t) la quantité d'éléments en solution. A chaque instant, on a donc :
Le récipient étant de volume constant V, la variation de quantité d'éléments en solution dn, pendant un instant dt, est égal à la différence entre la quantité introduite (Q * K * dt,) et la quantité qui s'en échappe (Q * c(t) * dt,) :
D'où :
Et comme c(0) = C0, on a finalement :
Remarque : Lorsque t tend vers l'infini, la concentration dans le récipient tend bien vers K.
[modifier] Application
Cette équation traduit notamment l'évolution de la concentration de café dans une cafetière placée dans un évier, lorsqu'on y fait couler de l'eau claire ; c'est d'ailleurs cette application qui lui donne son nom.