Cycle de Carnot

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En thermodynamique, le cycle de Carnot est le processus cyclique réversible de la machine de Carnot. Cette machine produit du travail (c'est un moteur) à partir de deux sources de chaleur de température différentes. Un gaz, considéré comme parfait, subit des transformations caractéristiques pour fournir du travail mécanique.

Sommaire

[modifier] Description du cycle

Carnot cherchait à faire un cycle avec la meilleure efficacité[1] possible. Ainsi chaque efficacité d'une machine thermodynamique peut être comparée avec l'efficacité du cycle de Carnot. Il sert de cycle de référence.

Le cycle est composé de 4 processus ( 2 isothermes et 2 isoentropiques) :

  • 1 : Compression adiabatique réversible
  • 2 : Détente isotherme
  • 3 : Détente adiabatique réversible
  • 4 : Compression isotherme

Le deuxième principe de la thermodynamique permet d'établir pour une transformation réversible (car le fluide est à la température de la source), l'égalité de Clausius-Carnot :

\frac{Q_f}{T_f}+\frac{Q_c}{T_c}=0

avec:

  • Qf transfert thermique avec la source froide (compté négativement).
  • Qc transfert thermique avec la source chaude (compté positivement).
  • Tf température absolue de la source froide.
  • Tc température absolue de la source chaude.

[modifier] L'efficacité de Carnot

De nombreux systèmes thermodynamiques ont une efficacité définie à partir de celui du Cycle de Carnot, qui est un cycle purement théorique :

Atot = A1,2 + A2,3 + A3,4 + A4,1 et Qc = chaleurs positives

Donc pour chaque processus :

  • 1-2 :
    • Q1,2 = 0 = A1,2 + δU1,2
    • d'où : A_{1,2} = - \delta U_{1,2} = - \frac{i}{2}nR(T_2 - T_1), T_2 > T_1
  • 2-3 :
    • Q_{2,3} = A_{2,3} = p_2 V_2 \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)
    • δU2,3 = 0 car isotherme
  • 3-4 :
    • Q3,4 = 0 = A3,4 + δU3,4
    • d'où : A_{3,4} = - \delta U_{3,4} = - \frac{i}{2}nR(T_4 - T_3), T_3 = T_2 = T_c, T_4 = T_1 = T_f
  • 4-1 :
    • Q_{4,1} = A_{4,1} = p_4 V_4 \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)
    • δU4,1 = 0 car isotherme

Donc :

  • A_{tot} = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)
  • Q_c = nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)

\eta = \frac{A_{tot}}{Q_c}=\frac{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) + nRT_f \ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{nRT_c \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 + \frac{T_f}{T_c}  \frac{\ln\left(\frac{V_1}{V_4}\right)}{\ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right)} = 1 - \frac{T_f}{T_c}  \frac{\ln\left(\frac{V_4}{V_1}\right)}{\ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)}

Mais nous avons l'équation d'état du processus adiabatique :  T \times V^{\gamma -1} = Constante d'où :

  • 1-2 : T_f V_1 ^{\gamma -1} = T_c V_2 ^{\gamma -1}
  • 3-4 : T_f V_4 ^{\gamma -1} = T_c V_3 ^{\gamma -1}

Et donc le rapport : \frac{T_f V_1 ^{\gamma -1}}{T_f V_4 ^{\gamma -1} } = \frac{T_c V_2 ^{\gamma -1}}{T_c V_3 ^{\gamma -1}} donc : \frac{V_1}{V_4} = \frac{V_2}{V_3} et finalement \ln\left(\frac{V_4}{V_1}\right) = \ln\left(\frac{V_2}{V_3}\right)

En incorporant ceci dans l'équation de l'efficacité on obtient :

\eta = 1 - \frac{T_f}{T_c} donc pour obtenir une efficacité de 100%, il faut que \frac{T_f}{T_c} soit égal à 0 donc que Tf soit égal à 0K soit -273,15°C.

[modifier] Notes et références

  1. L'efficacité thermodynamique est le rapport de ce qui est récupéré sur ce qui a été dépensé. Elle est très souvent confondue avec le rendement qui est le rapport entre l'efficacité réelle et l'efficacité théorique maximale de la machine.

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

Le cycle de Carnot