Correspondance de Curry-Howard

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La correspondance de Curry-Howard, appelée également correspondance preuve/programme ou correspondance formule/type, est une série de résultats à la frontière entre la logique mathématique, l'informatique théorique et la théorie de la calculabilité établissant une relation entre les démonstrations formelles d'un système logique et les programmes d'un modèle de calcul. Les premiers exemples de correspondance de Curry-Howard remontent à 1958 date à laquelle Curry remarqua l'analogie formelle entre les démonstrations des systèmes à la Hilbert et la logique combinatoire, puis à 1969 où William Alvin Howard remarqua que les démonstrations en déduction naturelle intuitionniste pouvaient formellement se voir comme des termes du lambda-calcul typé.

La correspondance de Curry-Howard a joué un rôle important en logique, car elle a établi un pont entre théorie de la démonstration et informatique théorique. On la retrouve utilisée sous une forme ou une autre dans de très nombreux travaux allant des années 60 à nos jours : sémantique dénotationnelle, logique linéaire, réalisabilité, démonstration automatique...

[modifier] Logique implicative minimale

Par exemple, en lambda calcul simplement typé, si on associe à chaque type de base une variable propositionnelle et que l'on associe l'implication logique $\Rightarrow$ au constructeur de type $\rightarrow$ alors les propositions démontrables de la logique implicative minimale (où le seul connecteur est l'implication) correspondent aux types des termes clos du lambda calcul.

Par exemple, à la proposition $A \Rightarrow A$ on associe le lambda-terme $\lambda x^A .x : A \rightarrow A$ .

En revanche, il n'y a pas de lambda terme clos associé à la proposition $\,A$ ou à la proposition $((A\Rightarrow B)\Rightarrow A)\Rightarrow A$ (Loi de Peirce), car elles ne peuvent pas être démontrées en logique implicative minimale.

Mais la correspondance s'étend aussi aux démontrations et aux normalisations de démonstrations comme suit :

les types sont les propositions ;
les termes sont les démonstrations ;
les réductions des termes sont les normalisations de démonstrations.

[modifier] Calcul propositionnel

Si on étend le lambda calcul au produit cartésien, on aura parallèlement le et logique. Si on rajoute la somme disjointe (types somme ou structures) on aura le ou logique. Dans les lambda-calculs d'ordre supérieurs on rajoute des variables de types donc des quantificateurs. Cela donne les pour tout.

[modifier] Calcul du second ordre

Grâce à cette correspondance on peut prouver la cohérence d'une logique en démontrant la normalisation forte du lambda-calcul associé (aucun terme ne se réduit infiniment). C'est ainsi que Jean-Yves Girard a résolu la conjecture de Takeuti, à savoir démontrer la cohérence de l'arithmétique du second ordre ; il l'a fait en établissant la normalisation forte du Système F.

[modifier] Correspondances

Quelques correspondances entre systèmes fonctionnels et systèmes formels
Système fonctionnel	Système formel
Calcul des constructions (Thierry Coquand)	?
Système F (Jean-Yves Girard)	Arithmétique de Peano du second ordre / Logique intuitionniste du second ordre
Système T (Kurt Gödel)	Arithmétique de Peano du premier ordre / Logique intuitionniste du premier ordre
Système T1	?
T0 (Récursion primitive) (Stephen Cole Kleene ? Thoralf Skolem ?)	Arithmétique primitive récursive
Lambda-calcul simplement typé	Calcul propositionnel minimal implicatif (déduction naturelle)
Logique combinatoire	Calcul propositionnel minimal implicatif (à la Hilbert)
Calcul lambda-µ de Parigot	Déduction naturelle en calcul propositionnel classique
Calcul lambda-µ-µ~ de Curien et Herbelin	Calcul des séquents classique
Calcul symétrique de Berardi et calcul dual de Wadler	Calcul des séquents avec $\vee$ et $\wedge$

[modifier] Logique et informatique

Le logicien français, Jean-Louis Krivine a fait le rapport entre différents théorèmes mathématiques et les programmes informatiques qu'ils représentent.

l'absurde (appelé « bottom » : $\perp$ ) a pour lambda-terme λx.x, ce qui correspond à « pour tout x, x » c’est-à-dire que tout est vrai. Comme on utilise un système cohérent ceci est toujours faux. En informatique, cela correspond à une instruction d'échappement, d'exception.
le théorème d'incomplétude de Gödel qui dit qu'il y a des théorèmes que l'on ne peut pas démontrer correspond à un programme de réparation de fichiers.
le théorème de complétude de Gödel correspond lui à un désassembleur de programmes.